6.2 基本动态规划：一维

# 6.2 基本动态规划：一维

## [70. Climbing Stairs](https://leetcode.com/problems/climbing-stairs/)

### 题目描述

给定 $$n$$ 节台阶，每次可以走一步或走两步，求一共有多少种方式可以走完这些台阶。

### 输入输出样例

输入是一个数字，表示台阶数量；输出是爬台阶的总方式。

```
Input: 3
Output: 3
```

在这个样例中，一共有三种方法走完这三节台阶：每次走一步；先走一步，再走两步；先走两步，再走一步。

### 题解

这是十分经典的斐波那契数列题。定义一个数组 dp，dp[i] 表示走到第 i 阶的方法数。因为我们每次可以走一步或者两步，所以第 i 阶可以从第 i-1 或 i-2 阶到达。换句话说，走到第 i 阶的方法数即为走到第 i-1 阶的方法数加上走到第 i-2 阶的方法数。这样我们就得到了状态转移方程 $$dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$$。注意边界条件的处理。

有的时候为了方便处理边界情况，我们可以在构造 dp 数组时多留一个位置，用来处理初始状态。本题即多留了一个第 0 阶的初始位置。

```py
class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n+1)
        dp[0] = 1
        dp[1] = 1
        for i in range(2,n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[n]
```

进一步的，我们可以对动态规划进行空间压缩。因为 dp[i] 只与 dp[i-1] 和 dp[i-2] 有关，因此可以只用两个变量来存储 dp[i-1] 和 dp[i-2]，使得原来的 $$O(n)$$ 空间复杂度优化为 $$O(1)$$ 复杂度。

```py
class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return 1
        prev1, prev2 = 1, 1
        for i in range(2, n+1):
            current = prev1 + prev2
            prev2 = prev1
            prev1 = current
        return prev1
```

## [198. House Robber](https://leetcode.com/problems/house-robber/)

### 题目描述

假如你是一个劫匪，并且决定抢劫一条街上的房子，每个房子内的钱财数量各不相同。如果你抢了两栋相邻的房子，则会触发警报机关。求在不触发机关的情况下最多可以抢劫多少钱。

### 输入输出样例

输入是一个一维数组，表示每个房子的钱财数量；输出是劫匪可以最多抢劫的钱财数量。

```
Input: [2,7,9,3,1]
Output: 12
```

在这个样例中，最多的抢劫方式为抢劫第 1、3、5 个房子。

### 题解

定义一个数组 dp，dp[i] 表示抢劫到第 i 个房子时，可以抢劫的最大数量。我们考虑 dp[i]，此时可以抢劫的最大数量有两种可能，一种是我们选择不抢劫这个房子，此时累计的金额即为 dp[i-1]；另一种是我们选择抢劫这个房子，那么此前累计的最大金额只能是 dp[i-2]，因为我们不能够抢劫第 i-1 个房子，否则会触发警报机关。因此本题的状态转移方程为 dp[i] = max(dp[i-1], nums[i-1] + dp[i-2])。

```py
class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n == 0:
            return 0
        if n <= 2:
            return max(nums)
        dp = [0] * n
        dp[0] = nums[0]
        dp[1] = max(nums[0], nums[1])
        for i in range(2, n):
            dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])
        return dp[-1]
```

同样的，我们可以像题目 70 那样，对空间进行压缩。

```py
class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n == 0:
            return 0
        if n <= 2:
            return max(nums)
        prev_prev = nums[0]
        prev = max(nums[0], nums[1])
        for i in range(2,n):
            cur = max(prev_prev + nums[i], prev)
            prev_prev = prev
            prev = cur
        return cur
```

## [413. Arithmetic Slices](https://leetcode.com/problems/arithmetic-slices/)

### 题目描述

给定一个数组，求这个数组中连续且等差的子数组一共有多少个。

### 输入输出样例

输入是一个一维数组，输出是满足等差条件的连续子数组个数。

```
Input: nums = [1,2,3,4]
Output: 3
```

在这个样例中，等差数列有 [1,2,3]、[2,3,4] 和 [1,2,3,4]。

### 题解

因为要求是等差数列，可以很自然地想到子数组必定满足 num[i] - num[i-1] = num[i-1] - num[i-2]。这里我们对于 dp 数组的定义是以 i 结尾的，满足该条件的子数组数量。因为等差子数组可以在任意一个位置终结，所以我们需要对 dp 数组求和进行子数组统计。

```py
class Solution:
    def numberOfArithmeticSlices(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        dp = [0] * n
        for i in range(2,n):
            if nums[i] - nums[i-1] == nums[i-1] - nums[i-2]:
                dp[i] = dp[i-1] + 1  
        return sum(dp)
```